Как рассчитать доверительный интервал в статистике

28.06.2025 в 23:29

Доверительный интервал - это диапазон значений, который с определенной вероятностью содержит истинное значение оцениваемого параметра генеральной совокупности. Рассмотрим методы расчета для различных типов данных.

Основные понятия

Формула расчета для среднего значения

Доверительный интервал = X̄ ± Z*(σ/√n)

• X̄ - выборочное среднее
• Z - критическое значение Z-распределения
• σ - стандартное отклонение
• n - объем выборки

Пошаговый расчет для среднего

1. Определение параметров

1. Вычислите выборочное среднее (X̄)
2. Определите стандартное отклонение (σ)
3. Установите объем выборки (n)
4. Выберите уровень доверия (обычно 95%)

2. Нахождение критического значения

3. Вычисление стандартной ошибки

SE = σ/√n

4. Расчет границ интервала

• Нижняя граница = X̄ - Z*SE
• Верхняя граница = X̄ + Z*SE

Особенности для малых выборок

• При n < 30 используйте t-распределение вместо Z-распределения
• Определите степени свободы: df = n-1
• Найдите критическое значение t в таблицах распределения Стьюдента
• Формула становится: X̄ ± t*(s/√n), где s - выборочное стандартное отклонение

Расчет для пропорций

Формула: p̂ ± Z*√(p̂(1-p̂)/n)

1. Вычислите выборочную пропорцию p̂
2. Определите объем выборки n
3. Выберите уровень доверия и соответствующее Z-значение
4. Рассчитайте стандартную ошибку пропорции
5. Определите границы интервала

Факторы, влияющие на ширину интервала

Пример расчета

• Выборочное среднее: 50
• Стандартное отклонение: 10
• Объем выборки: 100
• Уровень доверия: 95% (Z=1.96)
• Стандартная ошибка: 10/√100 = 1
• Доверительный интервал: 50 ± 1.96*1 → (48.04, 51.96)

Программные средства расчета

• Excel: функции ДОВЕРИТ.НОРМ() и ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ()
• R: t.test() или prop.test()
• Python: scipy.stats.norm.interval()
• SPSS: анализ "Описательные статистики"

Расчет доверительного интервала - важный статистический метод оценки точности выборочных данных. Правильное применение этого инструмента позволяет делать обоснованные выводы о генеральной совокупности на основе ограниченных выборок.